<T->
          Vontade de Saber
          Matemtica 6 Ano

          Joamir Souza
          Patricia Moreno Pataro

          Impresso Braille em
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio da Editora 
          FTD S.A.

          Terceira Parte  
   
          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,          
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --

<P>
          Vontade de Saber Matemtica
          Copyright (C) Joamir Roberto de Souza e Patricia Rosana
          Moreno Pataro, 2009  
        
          Gerente editorial:
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora:
          Rosa Maria Mangueira
          Editora assistente:
          Alessandra Abramo
 
          Todos os direitos reservados  EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 
          156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP 
          CEP 01326-010 -- 
          Tel. (11) 3598-6000
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          E-mail: ~,coord.editorial@ftd.~
          com.br~,
<p>
                                I
<R+>
<F->
Sumrio 

Terceira Parte

Captulo 4

Potncias e razes :::::::: 253
Potenciao ::::::::::::::: 255
Potncias de base 10 ::::: 270
Radiciao :::::::::::::::: 279
Expresses numricas :::::: 287
Refletindo sobre o 
  captulo ::::::::::::::::: 293
Explorando o tema: 
  Os grandes nmeros :::::: 296
Reviso ::::::::::::::::::: 298
Testes :::::::::::::::::::: 305

Captulo 5

Mltiplos e divisores ::::: 308
Mltiplos de um nmero 
  natural :::::::::::::::::: 309
Divisores de um nmero 
  natural :::::::::::::::::: 320
Nmeros primos e nmeros 
  compostos :::::::::::::::: 343
Refletindo sobre o 
  captulo ::::::::::::::::: 367
Reviso ::::::::::::::::::: 370
Testes :::::::::::::::::::: 376 
<F+>
<R->

<73>
<tv. saber mat. 6>
<T+253>
<R+>
Captulo 4 -- Potncias e 
  razes
	 
_`[{imagens adaptadas_`]
 I -- Legenda:  -- representa bactria.

 :> 12 horas

  :> 01 hora

 
  :> 02 horas

 
  :> 03 horas

 
 
 
  :> 04 horas
<p>
 II -- Tabuleiro de jogo de damas.
 Legenda: b -- branca,
  p -- preta. 

<F->
!::::::::::::::::::::::::
l b _ p _ b _ p _ b _ p _ b _ p _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l p _ b _ p _ b _ p _ b _ p _ b _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l b _ p _ b _ p _ b _ p _ b _ p _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l p _ b _ p _ b _ p _ b _ p _ b _
h:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l b _ p _ b _ p _ b _ p _ b _ p _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l p _ b _ p _ b _ p _ b _ p _ b _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l b _ p _ b _ p _ b _ p _ b _ p _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l p _ b _ p _ b _ p _ b _ p _ b _
h:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j
<F+>

Conversando sobre o assunto 
 a) Na imagem I, que regularidade voc pode observar em relao ao 
crescimento
populacional dessa bactria? 
<p>
 b) Se o crescimento populacional da bactria se mantiver, quantas 
bactrias haver
s 5 horas? 
 c) A populao de bactrias s 11 horas desse mesmo dia ser maior 
ou menor que 2.000 bactrias? 
 d) Que forma geomtrica lembra o tabuleiro apresentado na imagem II? 
 e) No total, quantas casas tem o tabuleiro do jogo de damas? E em 
cada fileira?
<R->

<74>
Potenciao 

  Os ingressos para uma pea de teatro foram todos vendidos 
antecipadamente.

<R+>
Teatro: A palavra teatro vem 
do grego *thatron*, 
que significa lugar 
onde se assiste a 
um espetculo. A 
fotografia _`[no adaptada_`]  do antigo 
teatro grego da 
cidade de Epidauro.
<R->
<p>
  Veja no quadro a quantidade de ingressos vendidos nos quatro 
primeiros dias.

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::
l Dia _ Ingressos vendidos _
r::::::w:::::::::::::::::::::w
l 1  _ 2                  _
r::::::w:::::::::::::::::::::w
l 2  _ 4                  _
r::::::w:::::::::::::::::::::w
l 3  _ 8                  _
r::::::w:::::::::::::::::::::w
l 4  _ 16                 _
h::::::j:::::::::::::::::::::j
<F+>

  Podemos notar que, a partir do 2 dia, a quantidade de ingressos 
vendidos
dobrou em relao ao dia anterior. Seguindo esse padro, podemos 
calcular a
quantidade de ingressos vendidos no 5 dia realizando os seguintes 
clculos:
<R+>
 1 dia: 2 
 2 dia: 2.2=4 
 3 dia: 2.4=8 
 4 dia: 2.8=16 
 5 dia: 2.16=32 
<R->
  Assim, sero vendidos 32 ingressos no 5 dia. 
  Observando os clculos, podemos relacionar a quantidade de ingressos 
vendidos, a partir do 2 dia, a uma multiplicao de fatores iguais. 
H uma
operao, chamada potenciao, que simplifica esses clculos. Veja. 
<R+>
 2 dia: 2.2=22=4 
 3 dia: 2.4=2.2.2=
  =23=8 
 4 dia: 2.8=2.2.2.2=
  =24=16 
 5 dia: 2.16=2.2.2.2.2=
  =25=32 
<R->
  Utilizando raciocnio semelhante, podemos obter a quantidade de 
ingressos
vendidos no 6 dia da seguinte maneira: 

2.32=2.2.2.2.2.2=26=64 

 _`[{a menina diz_`]
  "Essas multiplicaes 
esto escritas na 
forma de potncia."

<R+>
A potenciao  diferente da multiplicao. Enquanto a multiplicao 
 utilizada para
representar uma adio de parcelas iguais, a potenciao  utilizada 
para representar
uma multiplicao de fatores iguais. 
 multiplicao:
3+3+3+3=4.3=12
 potenciao: 
3.3.3.3=34=81
<R->

  Na potenciao podemos destacar os seguintes elementos:   

45=1.024

 4 -- base
 5 -- expoente
 1.024 -- potncia

  A base  o fator que se repete, o expoente indica a quantidade de 
vezes que
o fator se repete e a potncia  o produto dos fatores iguais. 
  Veja alguns exemplos: 
<R+>
  4.4.4=43=64
  7.7.7.7=74=2.401
<R->
<75> 
<p>
Potncias com expoente 1 e com 
  expoente 0 

  Nos quadros a seguir esto representadas duas sequncias envolvendo 
potncias. 
  
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l         Sequncia A        _
!::::::::::::::::::::::::::w
l 1  _ 2  _ 3  _ 4_ 5_
r::::::w::::::w::::::w::::w::::w
l24 _23 _22 _ '''_ '''_
r::::::w::::::w::::::w::::w::::w
l 16  _ 8   _ 4   _ '''_ '''_
h::::::j::::::j::::::j::::j::::j
 162=82=4
<p>
!::::::::::::::::::::::::::::::
l         Sequncia B        _
!::::::::::::::::::::::::::w
l 1  _ 2  _ 3  _ 4_ 5_
r::::::w::::::w::::::w::::w::::w
l54 _53 _52 _ '''_ '''_
r::::::w::::::w::::::w::::w::::w
l 625 _ 125 _ 25  _ '''_ '''_
h::::::j::::::j::::::j::::j::::j
 6255=1255=25
<F+>

  Veja como Augusto fez para obter os nmeros que ocupam a 4 e a 5 
posio
em cada uma dessas sequncias. 

Sequncia A

<F->
!::::::::::::::::::::::::::
l 1 _ 2 _ 3  _ 4 _ 5 _
r:::::w:::::w::::::w:::::w:::::w
l#b#d_#b#c_#b2 _#b#a_#b#j_
r:::::w:::::w::::::w:::::w:::::w
l 16 _ 8  _ 4   _ 2  _ 1  _
h:::::j:::::j::::::j:::::j:::::j
 4 posio: 42=2
 5 posio: 22=1

Sequncia B

!::::::::::::::::::::::::::
l 1 _ 2 _ 3  _ 4 _ 5 _
r:::::w:::::w::::::w:::::w:::::w
l#e#d_#e#c_#e2 _#e#a_#e#j_
r:::::w:::::w::::::w:::::w:::::w
l 625_ 125_ 25  _ 5  _ 1  _
h:::::j:::::j::::::j:::::j:::::j
 4 posio: 255=5
 5 posio: 55=1
<F+>

  Na sequncia A, 21=2 e 20=1 e na sequncia B, 51=5 e 50=1.

<R+>
Em uma potncia cuja base  um 
nmero qualquer e o expoente  igual 
a 1, o resultado  o prprio nmero. 
 31=3 
 41=4 
 71=7 
<p>
 Em uma potncia cuja base  diferente 
de zero e o expoente  igual a zero, o 
resultado  igual a 1.
 30=1 
 80=1 
 150=1 
<R->
 
Leitura de potncias 

  Podemos ler algumas potncias da seguinte maneira: 

<R+>
Potncia -- Leitura
 42 -- quatro elevado  segunda potncia
 73 -- sete elevado  terceira potncia
 54 -- cinco elevado  quarta potncia
 105 -- dez elevado  quinta potncia
 89 -- oito elevado  nona potncia
 71 -- sete elevado  primeira potncia
<R->
<p>
  As potncias com expoente 2 e expoente 3 podem ser lidas de outra 
maneira.
Isso ocorre porque elas podem ser associadas a algumas figuras. Veja 
alguns exemplos. 

<R+>
_`[{cubos adaptados_`]

 42=4.4=16 
 43=4.4.4=64 
<R->

  Devido a essa associao podemos ler: 
<R+>
  42: quatro elevado ao quadrado 
  43: quatro elevado ao cubo 
<R->

<76> 
<p>
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno. 

1. Escreva cada produto de fatores iguais na 
forma de uma nica 
potncia. Em seguida, 
calcule-a. 
 a) 7.7 
 b) 45.45 
 c) 8.8.8 
 d) 13.13.13 
 e) 9.9.9.9 
 f) 30.30.30.30 

2. Para cada potncia, escreva um produto 
de fatores iguais. Depois, calcule-o. 
 a) 212 
 b) 123 
 c) 74 
 d) 35 
 e) 46 
 f) 27 
<p>
3. Escreva a potncia indicada em cada item 
e, em seguida, calcule-a. 
 a) dezesseis elevado ao quadrado 
 b) quinze elevado ao cubo 
 c) quatro elevado  quarta potncia 
 d) seis elevado  quinta potncia 

4. Observe a sequncia de figuras. 
 I) 
 yy
 yy

 II) 
 yyy
 yyy
 yyy

 III) 
 yyyy
 yyyy
 yyyy
 yyyy
<p>
 IV) 
 yyyyy
 yyyyy
 yyyyy
 yyyyy
 yyyyy

 a) Represente o nmero de quadradinhos 
de cada figura por meio de uma potncia. 
Em seguida, calcule-a. 
 b) Considerando que a sequncia seja 
mantida, escreva na forma de potncia 
o nmero de quadradinhos das 
prximas duas figuras. 

5. Escreva como se l cada potncia. 
 a) 33 
 b) 57 
 c) 42 
 d) 618 
 e) 1810 
 f) 1420 
<p>
6. Calcule. 
 a) 250 
 b) 131 
 c) 8101 
 d) 4.0120 
 e) 9.2370 
 f) 44.1171 

7. Veja a sequncia que Amanda escreveu 
no caderno. Depois, escreva as trs prximas 
linhas dessa sequncia. 
 1=12
 1+3=4=22
 1+3+5=9=32
 1+3+5+7=16=42

8. Observe como podemos calcular, por 
meio de uma potncia, o nmero de cubinhos 
da pilha a seguir. 

_`[{dois cubos no comprimento, dois cubos na largura, dois cubo na altura_`]

 23=2.2.2=8 

 Portanto, h 8 cubinhos na pilha. 
 De forma semelhante, escreva uma potncia 
para representar o nmero de 
cubinhos de cada pilha e, em seguida, 
calcule essa potncia. 

_`[{figuras adaptadas_`]
 I -- trs cubos no comprimento, trs cubos na largura, trs cubos na altura;
 II -- seis cubos no comprimento, seis cubos na largura, seis cubos na altura;
 III -- cinco cubos no comprimento, cinco cubos na largura, cinco cubos na altura.

9. Calculadora 
 Podemos resolver uma potncia utilizando 
uma calculadora. Veja as etapas para 
calcular 65. 
  Efetuamos 6.6; 
 _`[{visor com o nmero 36_`]
  O valor obtido  62. 
<p>
  Digitamos a tecla = trs vezes consecutivas; 
 _`[{visor com o nmero 216_`] 63
 _`[{visor com o nmero 1296_`] 64
 _`[{visor com o nmero 7776_`] 65
 Portanto, 65=7.776. 

 Utilizando uma calculadora, resolva as 
potncias. 
 a) 56 
 b) 75 
 c) 134 
 d) 96 
 e) 38 
 f) 220 
<R-> 

<77>
<p>
Potncias de base 10
 
  Veja a seguir algumas fotografias tiradas de uma pessoa a uma 
distncia de:

<R+>
_`[{quatro fotos seguidas por legenda_`]
 Legenda A: 1.000 cm.
 Legenda B: 100 cm.
 Legenda C: 10 cm.
 Legenda D: 1 cm.
<R->

  Os nmeros que aparecem anteriormente podem ser escritos na forma de potncias 
de base 10. 
 A: 1.000=103 
 B: 100=102
 C: 10=101 
 D: 1=100 
  Note que o expoente das potncias de base 10 corresponde  quantidade 
de zeros do nmero. Assim, para escrever, por exemplo, 10.000 na 
forma de potncia de base 10, temos: 
 10.000=104 
  Podemos tambm calcular, de maneira prtica, uma potncia de base 10. 
Nesse caso, basta acrescentar  direita do algarismo 1 a quantidade 
de zeros
correspondente ao expoente. Assim, por exemplo, para calcular 107, 
temos:
 107=10.000.000
  As potncias de base 10 podem ser utilizadas para facilitar a leitura 
e a escrita
de nmeros grandes. Veja a seguir algumas informaes. 
<R+>
 I -- O estado da Bahia, localizado na regio Nordeste, tem 
aproximadamente 13.800.000 habitantes. 
 II -- O estado de So Paulo possui a maior frota de motocicletas 
do Brasil. Em 2006, a quantidade de motocicletas 
era cerca de 2.000.000. 
 III -- Em 2006, o estado do Par contava com um rebanho 
de aproximadamente 13.000.000 de bovinos. 
<R->

<78>
<p>
  Nas informaes vistas anteriormente, os nmeros podem ser escritos 
utilizando
potncias de base 10 da seguinte maneira: 
<R+>
 I -- O estado da Bahia, localizado na regio Nordeste, tem 
aproximadamente 138`.105 habitantes.
 II -- O estado de So Paulo possui a maior frota de motocicletas 
do Brasil. Em 2006, a quantidade de motocicletas 
era cerca de 2.106. 
 III -- Em 2006, o estado do Par contava com um rebanho 
de aproximadamente 13.106 de bovinos. 
<R->
  Utilizando as potncias de base 10 tambm podemos fazer a decomposio 
de nmeros. Veja, por exemplo, como decompor o nmero 4.512.047 de 
trs maneiras diferentes. 
<R+>
  4.512.047=4.000.000+500.000+
  +10.000+2.000+40+7 
  4.512.047=4.1.000.000+
  +5`.100.000+1.10.000+2.
  .1.000+4.10+7.1 
  4.512.047=4.106+5.105+
  +1.104+2.103+4.101+
  +7.100 

Atividades 

Anote as respostas no caderno.

10. Escreva os nmeros utilizando potncias 
de base 10. 
 a) 100.000 
 b) 3.000.000 
 c) 400.000.000 
 d) 8.000.000.000 
 e) 700.000.000.000 
 f) 10.000.000.000.000 

11. Clculo mental 
 Calcule mentalmente os resultados das 
potncias. 
 a) 103 
 b) 104 
 c) 101 
 d) 109 
 e) 1010 
 f) 107 

12. Associe as fichas que indicam o mesmo 
nmero. Para isso, escreva a letra e o 
smbolo romano correspondentes. 
 a) um milho  
 b) dez mil
 c) um trilho
 d) cem bilhes

 I) 1011 
 II) 1012 
 III) 104 
 IV) 106 

13. Escreva os nmeros a seguir utilizando 
potncias de base 10. 
 a) 137.000 
 b) 980.000 
 c) 900.000 
 d) 92.000.000 
 e) 116.000.000 
 f) 6.880.000.000.000 
<p>
14. Copie os itens a seguir em seu caderno 
substituindo cada ''' pelo smbolo > ou <. 
 a) 103'''927 
 b) 1.001'''104 
 c) 105'''94.209 
 d) 103'''9.873 
 e) 9.089'''104 
 f) 105'''10.428 

15. Utilizando potncias de base 10, decomponha 
os nmeros a seguir. 
 a) 7.831 
 b) 82.598 
 c) 362.537 
 d) 4.007 
 e) 665.200 
 f) 9.224.161 
 g) 7.246.323 
 h) 59.899 
<R->

<79>
<R+>
16. Tratando a informao 
 O Brasil  um dos maiores produtores 
agrcolas do mundo. A alta produo agrcola 
brasileira se deve, entre outros fatores, 
 abundante disponibilidade de 
reas destinadas ao plantio,  diversidade 
climtica, e a institutos de pesquisa, 
como a 
  Embrapa (Empresa Brasileira de 
Pesquisa Agropecuria). 
 O grfico apresenta a produo agrcola 
de alguns produtos. 

_`[{grfico adaptado_`]
 1 coluna: Produto
 2 coluna: Produo (em t)

<F->
arroz (em casca) l 11.041.320
feijo (em gro) l 3.242.290
milho (em gro)  l 51.846.196
soja (em gro)   l 58.038.033
trigo (em gro)  l 4.107.615
<F+>

*IBGE*. SIDRA. Obtido em: ~,www.ibge.gov.br~, 
Acessado em: 29/08/2008. 
 
Em relao ao grfico, resolva as questes. 
 a) Qual o produto que teve a maior produo? 
Quantas toneladas? 
 b) Quantas toneladas foram produzidas 
a mais de soja em relao  produo 
de arroz? 
 c) Sem efetuar clculos, verifique se a 
produo de milho foi maior ou menor 
que a de arroz, feijo e trigo juntas. 
 d) Arredonde a produo de cada produto 
 unidade de milho mais prxima 
e escreva esse nmero utilizando potncias 
de base 10. 

17. Contexto 
 Localizada no continente asitico, a China 
 um pas de nmeros impressionantes. 
Com cerca de *96.105* km2, seu territrio 
abriga a maior populao do mundo 
com aproximadamente *13.108* habitantes. 
Em relao  educao, os nmeros 
apresentados pelos chineses tambm 
causam espanto. So cerca de 
*556`.103* escolas 
<p>
  pblicas, *11.106* professores 
e *218`.106* alunos. 
 a) Escreva, utilizando algarismos, os nmeros 
apresentados em destaque. 
 b) O territrio brasileiro tem cerca de 
85`.105 km2 de rea. Qual territrio  
maior, o brasileiro ou o chins? Aproximadamente 
quantos quilmetros 
quadrados a mais? 
 c) Segundo estimativas, uma em cada 
cinco pessoas no planeta Terra  chinesa. 
Quantos habitantes, aproximadamente, 
tem nosso planeta? 

18. Escreva os nmeros que aparecem em 
destaque em cada item utilizando potncias 
de base 10. 
 a) Em 2006, o Brasil manteve-se como 
o maior exportador de frango do 
mundo, enviando para o exterior 
cerca de *2.700.000* t. 
 b) Segundo a ONU, o pas que mais reflorestou 
em 2007 foi a Etipia, onde 
foram plantadas aproximadamente 
700.000.000 de rvores. 
<R->

<80>
Radiciao
 
  Em uma malha quadriculada, Bruno pintou alguns quadradinhos formando 
dois quadrados. 

<R+>
A
 yy
 yy

B
 yyyy
 yyyy
 yyyy
 yyyy
<R->

  O nmero de quadradinhos que Bruno pintou para formar esses quadrados 
pode ser representado da seguinte maneira: 
 A 2.2=22=4
 B 4.4=42=16  

 _`[{a menina diz_`]
  "Multiplicar um nmero 
por ele mesmo  o 
mesmo que elev-lo ao 
quadrado." 

  Se Bruno representar um quadrado pintando 
25 quadradinhos, quantos quadradinhos de lado 
ter o quadrado formado? 
  Para responder a essa pergunta, precisamos encontrar 
um nmero que multiplicado por ele mesmo 
resulte em 25. 
  Nesse caso, o nmero  5, pois 5.5=52=25. 
  Assim, o quadrado formado ter 5 quadradinhos 
de lado. 
  A operao utilizada para responder  pergunta  chamada radiciao, 
indicada
pelo smbolo . Para representar o nmero natural que elevado ao 
quadrado
resulta em 25 utilizamos o smbolo 25, que l-se raiz quadrada de 
25.

25=5, pois 52=25
<p>
  Na radiciao podemos destacar os seguintes elementos:
 36=6
 2 -- ndice
  -- radical
 36 -- radicando
 6 -- raiz quadrada
  Em geral, representamos a raiz quadrada sem escrever o ndice 2. No 
caso
acima, escrevemos 36. 

<R+>
Raiz: Utilizado para 
representar raiz 
quadrada, esse 
smbolo foi usado 
a primeira vez 
pelo matemtico 
italiano Leonardo 
de Pisa em 1220. 
Esse smbolo tem 
origem do latim 
radix, que significa 
raiz. 
<R->

Nmeros quadrados perfeitos 

  A raiz quadrada de 9, por exemplo,  3, pois 32=9. Porm, nem 
sempre a
raiz quadrada de um nmero natural  outro nmero natural. 
  Qual , por exemplo, a raiz quadrada de 8, ou seja, 8? 
  Nesse caso, no h um nmero natural que elevado ao quadrado seja 8. 
Assim, dizemos que o 8 no  um nmero quadrado perfeito. 
  Os nmeros quadrados perfeitos so aqueles cuja raiz quadrada  um 
nmero natural. Veja os nmeros quadrados perfeitos 
existentes de 0 a 50. 

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 
 
<81> 
<R+>
Atividades

Anote as respostas no caderno.

19. Realize os clculos e justifique sua resposta. 
 a) 16=4, pois 42=16 
 b) 49 
 c) 81 
 d) 100
 e) 196

O item a) j est resolvido. 
<p>
20. Mrio desejava confeccionar uma ficha 
de cartolina com forma de quadrado e 
com 25 cm2 de rea. Observe como ele 
fez para determinar quantos centmetros 
a ficha deveria ter de lado. 
 
 _`[{o menino diz_`]
<R->
  "A medida de cada lado do 
quadrado  o nmero que, elevado 
ao quadrado, corresponde  sua 
rea. Assim, para encontrar a 
medida do lado do quadrado, 
basta calcular a raiz quadrada de 
sua rea. 
  Nesse caso, 25=5, ou seja, a 
ficha deve ter 5 cm de lado." 

<R+>
De maneira semelhante  de 
  Mrio, determine 
o comprimento do lado dos quadrados 
a seguir. 
 a) rea: 169 cm2 
 b) rea: 225 cm2 
 c) rea: 289 cm2 
 d) rea: 400 cm2 
<p>
21. Copie o quadro a seguir, substituindo cada 
''' pelo clculo correspondente. 

Na 1 linha os clculos j esto completos. 

_`[{quadro adaptado_`]
 1 coluna: n
 2 coluna: n 
 3 coluna: 2.n
 4 coluna: n2
 
16 -- 16=4 -- 2.16=32 -- 162=256 
 36 -- ''' -- ''' -- '''
 81 -- ''' -- ''' -- '''
 169 -- ''' -- ''' -- '''
 324 -- ''' -- ''' -- '''
 400 -- ''' -- ''' -- '''

22. Calcule. 
 a) 32+42 
 b) 132-52 
 c) 152+202 
 Agora, calcule a raiz quadrada de cada 
resultado obtido. 

23. Quais dos nmeros apresentados a seguir 
correspondem a quadrados perfeitos? 
 100 -- 54 -- 144 -- 94 -- 86 -- 76 -- 36 -- 25 -- 169 -- 176 

24. Resolva os itens a seguir. 
 a) Escreva os nmeros quadrados perfeitos 
maiores que 50 e menores que 90. 
 b) Qual o menor nmero quadrado perfeito 
de trs algarismos? 
 c) Qual o maior nmero quadrado perfeito 
de dois algarismos? 

25. Observe como Daniel fez para obter uma 
sequncia de nmeros quadrados perfeitos. 
 1 -- 4 -- 9 -- 16 -- 25 -- 36 -- 49 -- 64 -- 81

<F->
1+3=4
4+5=9
9+7=16
16+9=25
25+11=36
36+13=49
49+15=64
64+17=81
<F+>

Agora, junte-se a um colega e resolvam 
as questes a seguir. 
 a) Que regularidade pode ser observada 
no mtodo utilizado por Daniel para 
obter a sequncia de nmeros quadrados 
perfeitos? 
 b) De maneira semelhante  de Daniel, escreva 
os seis prximos nmeros quadrados 
perfeitos desta sequncia. 
 c) Escreva o nmero correspondente a 
cada letra apresentada no esquema 
a seguir utilizado para obter parte da 
sequncia dos nmeros quadrados 
perfeitos. 

2.209 2.304 A 2.500 D

 2.209+95=2.304
 2.304+97= A
 A + B =2.500
 2.500+ C = D
<R->

<82> 
Expresses numricas
 
  A professora de Carlos escreveu as seguintes expresses na lousa. 
<R+>
 a) 43+(15-6)+6.(2+3)2
 b) [8-9+(4+1)3]+14
 c) 24+`{3+`[25+
  +(3.42)`]-2`}-49

 _`[{a professora diz_`]
<R->
  "Numa expresso numrica 
em que aparecem chaves `{ `}, 
colchetes `[ `] e parnteses `( `), 
devemos resolver primeiro 
as operaes que aparecem 
dentro dos parnteses, 
depois as operaes que 
aparecem dentro dos 
colchetes e por ltimo, as 
operaes que aparecem 
dentro das chaves." 
<p>
  Veja como Carlos resolveu cada uma dessas expresses: 
<R+>
 a) 43+(15-6)+6.(2+3)2=
  =64+9+6.52=
  =64+9+6.25=64+9+150=223
 b) [8-9+(4+1)3]+14=
  =[8-3+53]+14=
  =[8-3+125]+14=130+14=144
 c) 24+`{3+`[25+
  +(3.42)`]-2`}-49=
  =16+`{3+`[5+(3.16)`]-2`}-7=
  =16+`{3+[5+48]-2`}-7=16+
  +`{3+53-2`}-7=
  =16+54-7=63

Numa expresso numrica que contenha potncias e razes, estas devem 
ser efetuadas na ordem em que aparecem. As demais operaes seguem 
a ordem j estudada anteriormente. 
<p>
Atividades

Anote as respostas no caderno.

26. Calcule as expresses. 
 a) 29-10052+3.16 
 b) (17+72)+(4236) 
 c) `[28-349+(322-6)`]-
  -18
 d) 26+`{`[(26-9+3)-363+
  +3.18`]-66`}
 e) (13-1)2`[6423+
  +(8132-8).3`]+62
 f) `[(2+23)3-(64-22).
  .24`]2+34+25.
  .(2-1832)
<R->

<83>
<R+>
27. Copie e substitua cada ''' pelo nmero 
adequado. 
 a) 5.33+3616-7 
  5'''+36'''-7
  '''+'''-7
  '''-7
  '''
<p>
 b) 16-244+25.27 
  16-'''4+'''27
  16-'''+'''
  '''+'''
  '''
 c) 42+6.36-305
  '''+6'''-'''
  '''+'''-'''
  '''-'''
  '''
 
28. Associe cada frase  expresso numrica 
adequada. Para isso, escreva a letra 
e o smbolo romano correspondentes. 
 a) O dobro de 9, adicionado ao cubo de 
5 e subtrada desse resultado a raiz 
quadrada de 64. 
 b) O quadrado de 9, adicionado ao triplo 
de 5 e subtrada desse resultado a 
metade de 64. 
 c) A raiz quadrada de 9, adicionada ao 
quadrado de 5 e 
<p>
  subtrada desse resultado 
a raiz quadrada de 64. 

 I) 92+3.5-642
 II) 9+52-64 
 III) 2.9+53-64
 Agora, resolva cada uma das expresses.

29. Desafio 
 Copie as expresses numricas colocando 
os parnteses de forma que os resultados 
fiquem corretos. 
 a) 43.3+4+9.4=356 
 b) 43.3+4+9.4=236 
 c) 49.21+34-13.2=283 
 d) 49.21+34-13.2=688 

30. Euclides mora em uma chcara e pretende 
cercar com tela dois terrenos quadrados 
para servir de curral, um com 256 m2 
e o outro com 441 m2. Em cada um desses 
currais, Euclides no 
<p>
  cercar 3 m, 
onde ser colocado um porto. 
 rea: 256 m2
 rea: 441 m2
 Copie a expresso numrica que corresponde 
ao comprimento da tela, em metros, 
necessrio para cercar os currais. 
 a) (2564-3)+(4414-3)
 b) 4.`(256-3`)+4.`(441-3`) 
 c) `(4.256-3`)+`(4.441-3`) 
 d) `(4.?256-3*`)+`(4.
  .?441-3*`) 
 Agora, resolva a expresso que voc 
copiou e determine quantos metros de 
tela sero necessrios para cercar os 
currais. 

31. Escreva as expresses numricas que 
Fbio e Alice esto dizendo. Em seguida, 
resolva-as. 

 _`[{fbio diz_`]
<R->
  "A raiz quadrada de 289, 
mais o quadrado de 
21, menos a metade de 628." 
<p>
 _`[{alice diz_`]
  "O quadrado de 6, menos o 
dobro da raiz quadrada de 
4, mais o triplo de 5." 

<84>
<R+>
Refletindo sobre o captulo 

Anote as respostas no caderno.

1. Quais foram os contedos abordados neste captulo? 
 2. Escreva, com poucas palavras, qual a diferena entre as operaes 
de multiplicao
e potenciao. 
 3. O que  a raiz quadrada de um nmero? 
 4. Faa um esquema em seu caderno e escreva quais so os elementos da 
potenciao e da radiciao. 
 5. O que so nmeros quadrados perfeitos? 
 6. Em uma expresso numrica em que aparecem adies, subtraes, 
multiplicaes,
divises, potncias, razes e parnteses, 
<p>
  qual deve ser o 
procedimento para a sua
resoluo? 
 7. O nmero 1.700.000.000.000.000 quando escrito na forma de potncia de 
base 10
 17.1014. Em sua opinio, h alguma vantagem em escrever um nmero 
como o
apresentado utilizando potncia de base 10? Qual? 

8. Observe as imagens e, a partir dos contedos estudados neste 
captulo, elabore e
escreva algumas questes relacionadas a elas. Junte-se a um colega, 
troquem as
questes que vocs elaboraram e discutam as resolues. 

_`[{quatro imagens adaptadas_`]
 I -- Crescimento de uma 
  populao de bactrias. 
 Legenda:  -- bactria.

  -- momento inicial 
  -- aps 1 dia 
<p>
  -- aps 2 dias 
  -- aps 3 dias 

II -- Uma mquina de calcular, destacando a tecla .

 III -- Reportagem do O Jornal:
 "As Cataratas do Iguau  um dos principais 
pontos tursticos do Brasil. O espetculo das guas atrai
todos os anos milhares de turistas. Uma das atraes deste 
local so as quedas d'gua, que tem uma vazo mdia de 1.500.000 
litros por segundo."

 IV -- Caixa de pisos de cermica So Joo, destacando um piso de rea: 256 cm2.
<R->

<85> 
<p>
Explorando o tema 

Anote as respostas no caderno. 

Os grandes nmeros 

  Nmeros muito grandes despertam o interesse de estudiosos desde a 
Antiguidade. J naquela
poca -- com o objetivo de determinar um nmero to grande que 
ultrapassasse a quantidade
de gros de areia, necessrios para preencher uma esfera de centro na 
Terra e raio
alcanando o Sol -- um matemtico de prestgio, chamado Arquimedes 
(cerca de
287 a.C.-212 a.C.), elaborou uma maneira de representar esse nmero. 

<R+>
_`[{foto descrita por legenda_`]
 Legenda: Arquimedes, matemtico 
nascido na cidade grega 
de 
  Siracusa. 
<R->

  Os cientistas, ao longo dos tempos, sempre utilizaram nmeros extensos 
para expressar longas distncias, como a da Terra ao Sol que  de, 
aproximadamente,
150.000.000.000 de metros. Imagine o trabalho para realizar clculos 
envolvendo nmeros como esse. 
  Nesse sentido, a potenciao  uma operao matemtica que 
possibilita representar nmeros
grandes para simplificar os clculos. Por meio dessa operao, 
podemos, por exemplo,
representar a distncia aproximada entre a Terra e o Sol da seguinte 
maneira: 151010 metros.
  Atualmente, tais nmeros tm surgido em diversos problemas 
matemticos. Porm, poucos so maiores que o "gugol", que corresponde 
a 10100. Segundo consta, o nome desse nmero foi dado pelo 
matemtico Edward Kasner, que teria pedido ao sobrinho de 9 anos 
que o nomeasse. 
  Para se ter uma ideia do quanto esse nmero representa, Kasner 
afirma que 1 gugol  maior que a quantidade de gros de areia de 
uma praia. 
  Se voc achou esse nmero muito grande, imagine ento que tamanho 
teria o nmero 10 elevado a 1 "gugol", ou seja, 1010100. Esse 
nmero  conhecido como 
 "gugolplex".

<R+>
a) Qual  a ideia principal do texto? 
 b) Em sua opinio, existe um nmero maior que o gugolplex? Por qu? 
 c) Qual o maior nmero que voc j viu sendo usado? Ele era usado 
para qu?
 d) Qual foi a motivao para que Arquimedes elaborasse uma maneira 
de representar nmeros
muito grandes? 
<R->

<86>
<R+>
Reviso 

Anote as respostas no caderno.
 
32. Copie os itens a seguir substituindo cada '''
por uma potncia de base 10 de maneira 
que as igualdades sejam verdadeiras. 
 a) 254'''=254.000.000 
 b) 8'''=80.000 
 c) 648'''=64.800.000 
 d) 94'''=94.000 
 e) 2'''=200.000.000 

33. Jlia enviou um *e-mail* a trs pessoas. O 
ttulo de cada e-mail era A. 
 As pessoas que receberam esses e-mails 
escreveram, cada uma delas, trs e-mails 
semelhantes, intitulados B, e os enviaram 
para outras trs pessoas. Esse procedimento 
se repetiu com cada pessoa que 
recebeu o e-mail, de modo que o ttulo 
do e-mail a ser enviado seguisse a ordem 
do nosso alfabeto.

A :> B, B, B
 A :> B, B, B
 A :> B, B, B
 B :> C, C, C

a) Escreva na forma de potncia e calcule 
quantos e-mails foram enviados 
com o ttulo D. 
 b) Quantos e-mails foram enviados com 
o ttulo E? E com o ttulo F? 

34. As fichas a seguir apresentam nmeros 
quadrados perfeitos. 
 4 -- 25 -- 9 -- 36 -- 16 
 a) Escreva todas as multiplicaes possveis 
utilizando dois desses nmeros 
como fatores. 
 b) Verifique se o resultado obtido em cada 
multiplicao no item a  um quadrado 
perfeito. 
 c) Escreva uma multiplicao de dois 
quadrados perfeitos diferentes dos 
apresentados. O resultado obtido tambm 
 um quadrado perfeito? 

35. ngela dobrou uma folha de papel ao meio 
e obteve 2 retngulos. 
 Em seguida, com a folha dobrada, ela dobrou 
ao meio novamente e obteve 4 retngulos. 
 a) Se ngela dobrar a folha ao meio pela 
3 vez, quantos retngulos ela vai 
obter? 
 b) Quantas vezes ngela tem de dobrar 
ao meio o papel para obter 16 retngulos? 
E para obter 32 retngulos? 
 c) Escreva uma sequncia de potncias 
para representar a quantidade de retngulos 
obtidos na 1, 2, 3, 4, 5 e 
6 dobras. 
 d) Voc acha possvel dobrar o papel ao 
meio uma quantidade indeterminada 
de vezes? Por qu? 

36. Para cada item, realize os clculos indicados 
e escreva a sequncia numrica 
obtida. 
 a) 12-02; 22-12; 
  32-22; 42-32; 52-42 
 b) (1-0)2; (2-1)2; 
  `(3-2`)2; (4-3)2 
<p>
37. Associe cada frase ao clculo adequado. 
Para isso, escreva a letra e o smbolo romano 
correspondentes. 
 a) o dobro de oito 
 b) o quadrado de oito 
 c) a metade de oito 
 d) dois elevado  oitava potncia 

 I) 82=4 
 II) 28=256 
 III) 82=64 
 IV) 2.8=16 
<R->

<87> 
<R+>
38. Escreva os valores indicados nas fichas 
em ordem crescente. Para isso, utilize o 
smbolo <. 
 102 -- 72 -- 16 -- 81 -- 25 -- 52 -- 
36 -- 62 -- 42 -- 49 -- 64
 
39. Escreva o nmero correspondente a cada 
letra do esquema. 

_`[{esquema adaptado_`]
 1 linha 2 -- 4 -- B -- 11 -- 16 -- E -- F -- 25
<p>
 2 linha 4 -- A -- 49 -- C -- D -- 400 -- 529 -- 625
 
 Da 2 linha para a 1 linha -- calcule a raiz quadrada.
 Da 1 linha para a 2 linha -- eleve ao quadrado.

40. Desafio 
 O quadro a seguir  um *Sudoku*, ou seja, 
foi preenchido de forma que cada linha ou coluna 
contenha os nmeros 1, 2, 3 e 4. 
 Realize os clculos necessrios e obtenha 
os valores das letras A, B, C e D. 

<F->
!:::::::::::::::::::::::
l 16 _ 9 _ 1 _ b  _
r:::::::w::::::w::::w::::::w
l 2    _ a    _ 3 _ 4   _
r:::::::w::::::w::::w::::::w
l 3    _ 4 _ b  _ a2 _
r:::::::w::::::w::::w::::::w
l a     _ c2 _ 2 _ d    _
h:::::::j::::::j::::j::::::j
<F+>

41. Copie os itens a seguir, em seu caderno, 
substituindo cada ''' pelo smbolo >, < 
ou =. 
 a) `(6416-1`)'''`[81
  `(36-9`)`]
 b) `[`(1`)2+
  +`(16`)2`]'''`(81+9`)2
 c) `(4+48-49`)'''`[`(16-2`).
  .2`]
 
42. Escreva uma expresso numrica para cada 
frase e, em seguida, resolva-a. 

 _`[{rafael diz_`]
<R->
  "O triplo de 15, subtrado do 
quadrado de 4 e adicionada 
a esse resultado a raiz 
quadrada de 64." 
 _`[{priscila diz_`]
  "O cubo de 4, adicionado da 
metade de 30 e subtrada 
desse resultado a raiz 
quadrada de 100." 
<p>
<R+>
Testes

Anote as respostas no caderno.

43. (SARESP - SP) A rea de um quadrado, 
em metros quadrados,  indicada por 
A=132. A rea desse quadrado , portanto: 
 a) 26 m2 
 b) 39 m2 
 c) 144 m2 
 d) 169 m2 

44. Qual deve ser o expoente de uma potncia 
de base 2 para que o resultado seja 
128? 
 a) 4 
 b) 5 
 c) 6 
 d) 7 
 e) 8 
<p>
45. Calculando a expresso (22)3.43.(23)2, 
obtm-se: 
 a) 262.144 
 b) 6.400 
 c) 40.960 
 d) 9.216 

46. Entre os itens a seguir, qual apresenta uma 
decomposio do nmero 1.053? 
 a) 1.104+5.102+3.10 
 b) 1.103+5.101+3 
 c) 1.103+5.102+3 
 d) 1+5.102+3.103
 
47. O nmero representado por A na igualdade 
A.A=27 : 
 a) 1 
 b) 4 
 c) 16 
 d) 9 
 e) 25 
<p>
48. A quantidade de nmeros quadrados perfeitos 
de dois algarismos : 
 a) 5 
 b) 6 
 c) 7 
 d) 8 
 e) 9 
<R->

               oooooooooooo

<88> 
<p>
<R+>
Captulo 5 -- Mltiplos e 
  divisores

 _`[{uma confeiteira diz_`]
<R->
  "Para embalar todos esses bombons, 
utilizarei caixas de mesmo tamanho 
para caber a mesma quantidade de 
bombons em cada uma delas." 

<R+>
 _`[{figura adaptada_`]
 Legenda:  -- representa um bombom.
 
<F->
      
       
       
<F+>

Conversando sobre o assunto 
 a) Quantos bombons a confeiteira vai embalar? 
 b) Se a confeiteira utilizar duas caixas, quantos bombons ter em 
cada caixa?
 c)  possvel embalar esses bombons em caixas com seis unidades 
cada? E com
quatro unidades cada? 
<R->
<89> 
<p>
Mltiplos de um nmero natural
 
  Para fazer certo uniforme, 
 Solange utiliza, entre outros materiais, 
3 m de tecido. 
  Se Solange costurar: 
<R+>
  2 uniformes, ela vai utilizar 6 m de tecido, pois 2.3=6 
  3 uniformes, ela vai utilizar 9 m de tecido, pois 3.3=9 
  4 uniformes, ela vai utilizar 12 m de tecido, pois 4.3=12 
  5 uniformes, ela vai utilizar 15 m de tecido, pois 5.3=15 
  10 uniformes, ela vai utilizar 30 m de tecido, pois 10.3=30 
  12 uniformes, ela vai utilizar 36 m de tecido, pois 12.3=36 
<R->
  Note que os nmeros 6, 9, 12, 15, 30 e 36 podem ser representados por 
uma multiplicao de um nmero natural por 3. Assim, dizemos que esses 
nmeros so mltiplos de 3. 

<R+>
<p>
 _`[{a menina diz_`]
<R->
  "Todo nmero 
natural  mltiplo 
dele mesmo. 
Assim, 3  
mltiplo de 3."

  Veja outros exemplos: 

18=6.3 

  Nesse caso, dizemos que 18  mltiplo de 6 ou ainda que 18  mltiplo 
de 3.

72=8.9 

  Nesse caso, dizemos que 72  mltiplo de 8 ou ainda que 72  mltiplo 
de 9.

<R+>
Quando uma diviso de nmeros naturais  exata, temos que o dividendo 
 mltiplo do divisor. 
 Exemplos: 
 426=7 resto 0
 42  mltiplo 
de 6, pois a 
diviso  exata. 
 506=8 resto 2
<p>
 50 no  mltiplo 
de 6, pois a diviso 
no  exata. 
<R->

Mnimo mltiplo comum (mmc) 

  Fernando escreveu em seu caderno alguns mltiplos de 3 e de 5. 

 _`[{fernando diz_`]
  "O zero  mltiplo 
de qualquer 
nmero natural." 

<R+>
  mltiplos de 3: *0*, 3, 6, 9, 12, *15*, 18, 21, 24, 27, *30*
  mltiplos de 5: *0*, 5, 10, *15*, 20, 25, *30*, 35, 40
<R->

  Observando essas sequncias, podemos notar que Fernando destacou os 
nmeros
0, 15 e 30, que correspondem aos mltiplos de 3 e 5 ao mesmo tempo. 
  Se continuarmos essas sequncias, vamos obter outros nmeros que 
tambm
so mltiplos de 3 e 5 ao mesmo tempo, porm o menor mltiplo 
diferente
de zero  o 15. Dizemos ento que o nmero 15  o mnimo mltiplo 
comum (mmc) de 3 e 5 e indicamos por mmc(3, 5)=15. 

<R+>
O menor mltiplo, diferente de zero, de dois ou mais nmeros  
chamado mnimo mltiplo comum desses nmeros. Indicamos o 
mnimo mltiplo comum dos nmeros *a* e *b* por mmc`(a, b`). 
<R->

<90>
  O mmc pode ser utilizado para resolver situaes como a apresentada a 
seguir. 

  Em uma indstria, determinada mquina produz certa pea a 
cada 6 minutos e outra, mais nova, produz esse mesmo tipo de 
pea a cada 4 minutos. Sabendo que as duas mquinas comearam, 
ao mesmo tempo, a produo de uma pea, aps quanto 
tempo essas mquinas vo produzir as peas simultaneamente? 

  Para resolver esse problema,  necessrio encontrar o mmc de 4 
e 6. Para isso, encontramos os mltiplos de 4 e 6. 
<R+>
  Mltiplos de 4: 0, 4, 8, *12*, 16, 20, 24... 
  Mltiplos de 6: 0, 6, *12*, 18, 24, 30, 36... 
<R->
  Como o mmc(4, 6)=12, temos que aps 12 minutos as duas mquinas 
comearo novamente a produo de uma pea, ao mesmo tempo. 

Atividades

Anote as respostas no caderno.

<R+>
1. Efetuando divises, verifique quais dos 
nmeros a seguir so mltiplos de 8. 
 a) 96 
 b) 110 
 c) 120 
 d) 216 
 e) 188 
 f) 168 
<p>
2. Juliano possui 192 fotografias e pretende 
distribu-las em lbuns de maneira que 
em cada lbum tenha a mesma quantidade 
de fotografias. De acordo com essas 
informaes, classifique cada afirmao 
a seguir em verdadeira (V) ou falsa 
(F). 
 a) As fotografias podem ser distribudas 
em 9 lbuns. 
 b) Aps a distribuio, cada lbum pode 
conter 36 fotografias. 
 c) Para a distribuio das fotografias podem 
ser utilizados 12 lbuns. 
 d) Em cada lbum, podem ser distribudas 
20 fotografias. 
 
3. Escreva uma multiplicao para resolver 
cada problema. 
 a) Marlene trabalha como diarista e recebe 
R$25,00 por dia. Quantos reais 
Marlene recebeu em um ms em que 
trabalhou 22 dias? 
 b) Quantas moedas esto apresentadas 
a seguir?

Legenda:  -- representa uma 
  moeda.

             
             
             
             
             
             
             
             

 c) Para preparar um *sundae*, certa 
sorveteria oferece 9 tipos 
de cobertura e 6 sabores de 
sorvete. Quantas combinaes 
podem ser feitas no preparo 
de um *sundae* usando 
uma cobertura e um sabor de 
sorvete? 
 De acordo com as multiplicaes que voc 
escreveu, copie as frases a seguir substituindo 
cada ''' pelo nmero adequado. 
 I) '''  mltiplo de 25 e de 22, pois 
25.22=''' 
 II) '''  mltiplo de 8 e de 12, pois 
8.12=''' 
 III) '''  mltiplo de 9 e de 6, pois 
9.6=''' 
<R->

<91>
<R+>
4. Escreva os dez primeiros mltiplos de 8 
e os dez primeiros mltiplos de 12. 
 a) Dos nmeros que voc escreveu, quais 
so os mltiplos comuns de 8 e 12? 
 b) Qual  o mnimo mltiplo comum de 8 
e 12? 

5. Leia a tirinha. 

_`[{tirinha em quatro quadrinhos_`]
 1: ... est fazendo embaixada e conta: "52 ... 53 ... 54 ... 55 ..."
 2: ... continua contando: "97 ... 98 ... 99 ..." 
 3: ... diz: "CEM!" e para de fazer embaixada.
<p>
 4: O que parece a bola, mas  ... diz: "Valeu a massagem nas costas."

Fernando Gonsales. *Nquel Nusea: com mil 
demnios*. So Paulo: Devir, 2002. 

 a) Quais dos nmeros sugeridos na tirinha 
so mltiplos comuns de 4, 6 
e 9? 
 b) O que voc entendeu nessa tirinha? 
Discuta a resposta deste item com 
um colega. 

6. Observe a sequncia dos 10 primeiros 
mltiplos de 16, de 18 e de 24. 
 Mltiplos de 16: 0, 16, 32, 48, 64, 80, 
96, 112, 128, 144 
 Mltiplos de 18: 0, 18, 36, 54, 72, 90, 
108, 126, 144, 162 
<p>
 Mltiplos de 24: 0, 24, 48, 72, 96, 120, 
144, 168, 192, 216 
 a) Entre os nmeros anteriores, escreva 
quais so mltiplos comuns de: 
 16 e 18 
 16 e 24 
 18 e 24 
 16, 18 e 24 
 b) Determine: 
 mmc(16, 18) 
 mmc(16, 24) 
 mmc(18, 24) 
 mmc(16, 18, 24) 
 
7. Calcule. 
 a) mmc(14, 21) 
 b) mmc(15, 20) 

8. Observe as cordas representadas a seguir.

_`[{desenho adaptado_`]
 a) o::::::::::o -- 30 m
 b) o::::::::::::o -- 36 m 
 c) o::::::::::::::o -- 40 m
 d) o:::::::::::::::::o -- 48 m
 Quais das cordas anteriores no apresentam 
sobras quando cortadas em pedaos de 
4 m e tambm no apresentam sobras 
quando cortadas em pedaos de 6 m? 
 
9. Para dar uma volta na pista de autorama, 
o carrinho amarelo demora 12 segundos 
e o carrinho vermelho, 16 segundos. 
 Quantos segundos aps terem partido 
juntos do ponto de largada, os carrinhos 
passaro juntos novamente por esse 
ponto? 
 10. Desafio 
 Marcelo est fazendo um 
tratamento mdico no 
qual precisa tomar dois 
medicamentos. Um deles 
deve ser tomado de 
8 em 8 horas e o outro, 
de 6 em 6 horas. Sabendo que 
Marcelo tomou os dois medicamentos 
s 7 horas da manh de segunda-feira, 
qual ser o horrio e o dia em que ele 
vai tomar novamente os dois medicamentos 
juntos? 
<R->
 
<92>
Divisores de um nmero natural
 
  Em um curso de informtica, a professora pode trabalhar com os 12 
alunos
de uma turma individualmente ou em grupos com a mesma quantidade de 
alunos de maneira que no fique aluno sem grupo. Veja todas as 
possibilidades
que a professora tem. 

  A professora pode trabalhar com os alunos individualmente. 
 121=12
  A professora pode formar 6 grupos com 2 alunos em cada grupo. 
 122=6 
  A professora pode formar 4 grupos com 3 alunos em cada grupo. 
 123=4 
  A professora pode formar 3 grupos com 4 alunos em cada grupo. 
 124=3  
<p>
  A professora pode formar 2 grupos com 6 alunos em cada grupo. 
 126=2 
  A professora pode formar 1 grupo com 12 alunos. 
 1212=1 

 _`[{o menino diz_`]
  "Uma diviso  
exata quando 
o resto  igual 
a zero." 

  Note que a professora pode trabalhar com os alunos individualmente ou 
em
grupos com 2, 3, 4, 6 ou 12 alunos sem que nenhum aluno fique sem 
grupo.
Como a diviso de 12 por 1, 2, 3, 4, 6 ou 12  exata, dizemos que 12 
 divisvel
por esses nmeros. 
  Assim, 1, 2, 3, 4, 6 e 12 so os divisores de 12. 
<93>
  Podemos verificar se um nmero natural qualquer  mltiplo de outro 
por
meio de uma diviso. 
<p>
 Vamos verificar, por exemplo, se 258  mltiplo 
de 6.
 2586=43 resto 0
  Pela diviso, verificamos que existe um nmero natural que 
multiplicado por
6 resulta em 258, isto , 6.43=258. Assim, 258  mltiplo de 6. 
  Note que a diviso  exata e, dessa forma, podemos dizer que 258  
divisvel
por 6. 
  Assim, dizer que 258  mltiplo de 6  equivalente a dizer que 6  
divisor
de 258, ou, ainda, que 258  divisvel por 6. 
  De maneira semelhante, podemos verificar que 524 no  mltiplo de 9, 
ou seja, 524 no  divisvel por 9. 
 5249=58 resto 2
  Como a diviso no  exata, podemos afirmar que no existe um nmero 
natural que multiplicado por 9 resulta em 524. 

 _`[{a menina diz_`]
  "O nmero 1  
divisor de qualquer 
nmero natural." 
<p>
<R+>
Atividades

Anote as respostas no caderno.

11. Lucas tem 72 latinhas em sua coleo e 
pretende dividi-las em quantidades iguais 
para coloc-las em prateleiras. 
  possvel Lucas distribuir as latinhas em: 
 a) 4 prateleiras? O nmero 4  divisor de 
72? 
 b) 6 prateleiras? O nmero 6  divisor de 
72? 
 c) 10 prateleiras? O nmero 10  divisor 
de 72? 
 d) 8 prateleiras? O nmero 8  divisor de 
72? 

12. Um sargento organizou os 30 soldados de 
seu batalho em 3 
<p>
  fileiras com o mesmo 
nmero de soldados em cada uma. 

_`[{desenho adaptado, de soldados em filas_`]
 Legenda:  -- representa um soldado.

           
           
           

 Escreva de que outras 4 maneiras o sargento 
pode organizar o batalho, de tal 
forma que cada fileira tenha o mesmo 
nmero de soldados. 

13. Efetue o clculo 51814. 
 Agora, copie as frases a seguir, substituindo 
cada ''' pelas palavras divisor, divisvel 
ou mltiplo. 
 a) 518  ''' por 14 
 b) 14  ''' de 518 
 c) 518  ''' de 14 
<R->

<94> 
<p>
<R+>
14. Leila construiu uma pilha com 84 cm 
de altura utilizando cubos de 7 cm de 
aresta. 
 Com quais dos cubos a seguir  possvel 
construir uma pilha com a mesma altura 
da construda por Leila? 

_`[{cubos adaptados_`]
 a) cubo com aresta de 4 cm
 b) cubo com aresta de 5 cm
 c) cubo com aresta de 8 cm
 d) cubo com aresta de 9 cm
 e) cubo com aresta de 12 cm

15. Observe os quadros. 
 Quadro I -- 18, 24, 27, 36, 45, 78, 69, 99 
 Quadro II -- 21, 28, 35, 42, 63, 70, 84, 105 
 Quadro III -- 15, 30, 45, 75, 85, 90, 95, 115 
 
a) Qual dos quadros tem todos os nmeros 
divisveis por: 
  3? 
  5?
 b) Quais nmeros apresentados no quadro 
II so divisveis por 7 e 3 ao mesmo 
tempo? 
 c) Escreva os divisores do maior nmero 
que aparece em cada quadro. 

16. Copie as frases a seguir em seu caderno 
substituindo cada ''' por um dos nmeros 
apresentados a seguir.
 11 -- 16 -- 15 -- 13
 a) 52  divisvel por '''
 b) '''  divisor de 88 
 c) 112  mltiplo de '''
 d) 90  divisvel por ''' 
 
17. Efetue os clculos necessrios e responda 
 pergunta de cada pessoa. 
 a) _`[{a menina diz_`]
<R->
  "Pensei em um nmero entre 
390 e 400. Esse nmero 
 divisvel por 3 e por 4. Em 
que nmero pensei?" 
 b) _`[{a menina diz_`]
  "O nmero correspondente 
 idade de meu pai  
divisvel por 6 e  divisor 
de 108. Sabendo que meu 
pai tem mais de 30 anos e 
menos de 50 anos, qual a 
idade de meu pai?" 
 c) _`[{o menino diz_`]
  "Os Jogos Olmpicos 
acontecem em anos 
divisveis por 4. Se essa 
regra se mantiver, em que 
ano sero realizados os 
primeiros Jogos Olmpicos 
depois de 2017?" 

<R+> 
18. Desafio 
 Observe as sequncias de figuras e nmeros 
a seguir. 

_`[{figuras adaptadas_`]
 1 -- cilindro
 2 -- cone
 3 -- pirmide de base quadrangular
 4 -- cubo
 5 -- cilindro
 6 -- cone
 7 -- pirmide de base quadrangular
<p>
 8 -- cubo
 9 -- cilindro
 ... -- ...

 Considerando que as sequncias sejam 
mantidas, que forma geomtrica espacial 
corresponder ao nmero: 
  637? 
  659? 
  768? 
  782? 
  799? 
  832? 
<R->

<95> 
Critrios de divisibilidade
 
  Vimos anteriormente como verificar se um nmero  divisvel por outro 
realizando
divises. Agora, estudaremos, por meio de exemplos, alguns critrios 
de divisibilidade, isto , mtodos para verificar se um nmero  
divisvel por 2,
3, 4, 5, 6, 9 e 10 sem fazer muitos clculos. Esses critrios podem 
ser provados
matematicamente e so vlidos de maneira geral. 
<p>
Divisibilidade por 2 

  Veja a diviso de alguns nmeros por 2. 
 242=12 resto 0
 182=9 resto 0
 152=7 resto 1
 562=28 resto 0
 212=10 resto 1
  Quando dividimos um nmero mpar por 2 obtemos resto 1 e quando 
dividimos um nmero par por 2 obtemos resto 0. 

<R+>
Um nmero natural  divisvel por 2 quando esse nmero for 
par, ou seja, quando o ltimo algarismo for 0, 2, 4, 6 ou 8. 
<R->

 _`[{o menino diz_`]
  "Ficar atento 
aos critrios 
de divisibilidade 
pode facilitar 
na resoluo de 
alguns clculos."
<p>

Divisibilidade por 3 e 9 

  Veja a diviso de alguns nmeros por 3. 
 A -- 2313=77 resto 0
 B -- 3133=104 resto 1
 C -- 1023=34 resto 0
 D -- 5423=180 resto 2
  As divises que aparecem nos itens A e C so exatas, e as somas dos 
valores
absolutos dos algarismos de 231 (2+3+1=6) e de 102 (1+0+2=3)
so nmeros mltiplos de 3. 
  J nos itens B e D as divises no so exatas e as somas dos valores 
absolutos dos algarismos de 313 (3+1+3=7) e de 542 (5+4+2=11)
no so mltiplos de 3. 

<R+>
Um nmero natural  divisvel por 3 quando a soma dos valores 
absolutos dos seus algarismos for um nmero mltiplo de 3. 
<R->

  De maneira semelhante, podemos verificar se um nmero natural  
divisvel por 9. Veja a diviso de alguns nmeros por 9. 
 E -- 8469=94 resto 0
 F -- 5649=62 resto 6
  A diviso apresentada no item E  exata, e a soma dos valores 
absolutos dos algarismos de 846 (8+4+6=18)  um nmero mltiplo de 9. 
  J no item F a diviso no  exata, e a soma dos valores absolutos 
dos algarismos de 564 (5+6+4=15) no  um nmero mltiplo de 9. 

<R+>
Um nmero natural  divisvel por 9 quando a soma dos valores 
absolutos dos seus algarismos for um nmero mltiplo de 9. 

A menina diz: "Todo nmero 
natural que  
divisvel por 
9 tambm  
divisvel por 3." 
<R->

<96> 
<p>
Divisibilidade por 4
 
  Veja a diviso de alguns nmeros por 4. 
 A -- 7164=179 resto 0
 B -- 4214=105 resto 1
  A diviso apresentada no item A  exata, e os dois ltimos 
algarismos do
nmero 716 formam o nmero 16, que  mltiplo de 4. 
  J no item B a diviso no  exata, e os dois ltimos algarismos do 
nmero 421 formam o nmero 21, que no  mltiplo de 4. 

<R+>
Um nmero natural  divisvel por 4 quando seus dois ltimos 
algarismos formam um nmero que  mltiplo de 4. 
<R->

 _`[{a menina diz_`]
  "Os nmeros terminados em 
00 so divisveis 
por 4, como, por 
exemplo, 400, 
600 e 1.000." 
<p>
Divisibilidade por 5
 
  Veja a diviso de alguns nmeros por 5. 
 A -- 3105=62 resto 0
 B -- 4155=83 resto 0
 C -- 6185=123 resto 3
  As divises apresentadas nos itens A e B so exatas. O nmero 310 
termina em 0 e o nmero 415 termina em 5, e ambos so divisveis por 
5.
  J no item C a diviso no  exata, e o nmero 618 no termina em 0 
nem em 5. 

<R+>
Um nmero natural  divisvel por 5 quando o ltimo algarismo 
 0 ou 5. 
<R->

Divisibilidade por 6 

  Veja a diviso de alguns nmeros por 6. 
 A -- 5046=84 resto 0
 B -- 3216=53 resto 3
 C -- 7126=118 resto 4
  A diviso apresentada no item A  exata, e o nmero 504  divisvel 
por 2 e 3 ao mesmo tempo. 
  J nos itens B e C as divises no so exatas. O nmero 321  
divisvel por 3, mas no  por 2, e o nmero 712  divisvel por 2, mas no  
por 3.

<R+>
Um nmero natural  divisvel por 6 quando ele  divisvel por 2 
e por 3 ao mesmo tempo. 
<R->

<97>
Divisibilidade por 10 

  Veja a diviso de alguns nmeros por 10. 
 A -- 3.27010=327 resto 0
 B -- 4.20010=420 resto 0
 C -- 48510=48 resto 5 
  As divises apresentadas nos itens A e B so exatas. Os nmeros 3.270 
e 4.200 terminam em 0, e ambos so divisveis por 10. 
<p>
  J no item C a diviso no  exata, e o nmero 485 no termina em 0. 

<R+>
Um nmero natural  divisvel por 10 quando o ltimo 
algarismo  0. 
<R->
 
Mximo divisor comum (mdc) 

  Veja a seguir as sequncias dos divisores de 18 e de 24. 
  Divisores de 18: 
 *1*, *2*, *3*, *6*, 9 e 18 
  Divisores de 24: 
 *1*, *2*, *3*, 4, *6*, 8, 12 e 24 
  Observando essas sequncias, podemos notar que os nmeros 1, 2, 3 e 6 
em destaque so divisores de 18 e 24 ao mesmo tempo, e que o nmero 6 
 o maior desses divisores. 
  Dizemos que o nmero 6  o maior divisor comum de 18 e 24 e indicamos 
por mdc(18, 24)=6. 

<R+>
<p>
O maior divisor comum de dois ou mais nmeros naturais  
chamado de mximo divisor comum desses nmeros. Indicamos o 
mximo divisor comum dos nmeros naturais *a* e *b* por mdc`(a, b`). 
<R->

  O mdc pode ser utilizado para resolver problemas como o apresentado 
a seguir. 

  Jssica tem 3 pedaos de tecido que sero cortados 
para fazer fantasias. Para obter melhor aproveitamento 
dos tecidos, ela vai cort-los com o maior comprimento 
possvel de forma que os pedaos obtidos tenham 
todos o mesmo comprimento. O tecido vermelho mede 
12 m, o azul, 8 m e o amarelo, 20 m. Qual ser o comprimento 
de cada pedao de tecido? 

  Para resolver esse problema,  necessrio encontrar o mdc de 12, 8 e 
20. Para isso, vamos 
<p>
 encontrar os divisores de 12, 8 e 20. 
<R+>
  Divisores de 12: 1, 2, 3, *4*, 6 e 12 
  Divisores de 8: 1, 2, *4* e 8 
  Divisores de 20: 1, 2, *4*, 5, 10 e 20 
<R->
  Como o mdc(12, 8, 20)=4, temos que o comprimento de cada pedao de 
tecido ser de 4 m. 

<98>
Atividades 

Anote as respostas no caderno. 

<R+>
19. Utilizando os critrios de divisibilidade, 
verifique se os nmeros apresentados a 
seguir so divisveis por 2, 3, 4, 5, 6, 9 
ou 10. 
 a) 254 
 b) 148 
 c) 159 
 d) 215 
 e) 369 
 f) 510 
 g) 333 
 h) 565 
 i) 364 

20. Clculo mental 
 Realize clculos mentais e verifique quais 
das afirmaes so verdadeiras. 
 a) 4.374  divisvel por 3 
 b) 93.701  divisvel por 5 
 c) 4  divisor de 3.924 
 d) 34.020  divisvel por 2 
 e) 6  divisor de 10.458 
 f) 31.620  divisvel por 9 e 10 

21. Escreva todos os nmeros de trs algarismos, 
divisveis por 9 e que podem ser 
formados com as fichas a seguir.

3 -- 7 -- 8 
 
22. Na lousa representada a seguir, o algarismo 
das centenas do nmero escrito foi 
apagado. Qual algarismo foi apagado? 
<p>
_`[{lousa adaptada, onde o algarismo apagado  representado pelo smbolo _`]

<F->
!::::::::::::::::::::::
l O nmero 7ie     _
l  divisvel por 9.   _
h::::::::::::::::::::::j
<F+>

23. Escreva: 
 a) o menor nmero maior que 10 divisvel 
por 2, 3 e 5 
 b) o menor nmero de dois algarismos divisvel 
por 3, 4 e 5 ao mesmo tempo 
 c) o menor nmero de trs algarismos 
divisvel por 5, 6 e 10 ao mesmo 
tempo 
<p>
24. Desafio 
 O salo representado a seguir deve ser forrado 
utilizando placas de isopor. 
 
<F->
      !:::::::
21 m l       _
      h:::::::j
        26 m
<F+>

Lembre-se de que 1 m corresponde a 100 cm. 

Com qual dos modelos de placas retangulares 
de isopor a seguir  possvel forrar 
todo o salo de forma que no seja 
necessrio cortar nenhuma placa? 
<F->
a) 
       !:::
       l   _
90 cm l   _
       l   _
       h:::j
       50 cm
<p>
b)
       !:::
60 cm l   _
       l   _
       h:::j
       50 cm

c)
       !:::
70 cm l   _
       l   _
       h:::j
       60 cm

D)
       !:::
       l   _
80 cm l   _
       l   _
       h:::j
       40 cm
<F+>

25. Observe a sequncia dos divisores de 24, 
32 e 36. 
 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 
 32: 1, 2, 4, 8, 16 e 32 
 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36 
 a) Quais so os divisores comuns de: 
 24 e 32? 
 24 e 36? 
 32 e 36? 
 24, 32 e 36? 
 b) Determine: 
 mdc(24, 32) 
 mdc(24, 36) 
 mdc(32, 36) 
 mdc(24, 32, 36) 

26. Calcule. 
 a) mdc(12, 28) 
 b) mdc(26, 39, 65) 

27. Desafio 
 Uma floricultura deseja fazer 
buqus utilizando 16 rosas 
brancas e 24 rosas vermelhas. 
 Sabendo que todos os buqus 
devem ter o mesmo nmero de rosas 
brancas e o mesmo nmero de rosas 
vermelhas, qual o maior nmero de buqus 
que podem ser formados? 
<R->
<99> 
<p>
<R+>
Nmeros primos e nmeros 
  compostos 
<R->

  Nos quadros a seguir esto representados os divisores dos nmeros 
naturais de 1 a 12. 

<R+>
_`[{quadros adaptados_`]
<F->
Divisor de 1: 1 
Divisores de 2: 1 e 2 
Divisores de 3: 1 e 3 
Divisores de 4: 1, 2 e 4 
Divisores de 5: 1 e 5 
Divisores de 6: 1, 2, 3 e 6 
Divisores de 7: 1 e 7 
Divisores de 8: 1, 2, 4 e 8 
Divisores de 9: 1, 3 e 9 
Divisores de 10: 1, 2, 5 e 10 
Divisores de 11: 1 e 11 
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 e 12 
<F+>
<R->

  Observando os quadros, notamos que os divisores dos nmeros 2, 
3, 5, 7 e 11 so apenas dois (o 1 e o prprio nmero). Esses nmeros 
recebem o nome de nmeros primos. 
  Os demais nmeros, com exceo do 1, so chamados de nmeros 
compostos, pois possuem mais de dois divisores.

<R+>
Os nmeros primos so aqueles que possuem apenas dois divisores, o 1 
e o prprio nmero. Esses divisores devem ser diferentes, dessa 
forma, o nmero 1 no  primo. 
 Os nmeros compostos so aqueles que possuem mais de dois divisores. 
<R->
 
  A palavra primo vem do latim e significa primeiro. Os nmeros primos 
so os primeiros, na medida em que geram todos os demais 
nmeros naturais pela multiplicao. Assim, todo nmero composto 
pode ser escrito como o produto de n-
<p>
 meros primos. Veja alguns 
exemplos:
<R+>
  6=2.3 
  36=2.2.3.3=22.32 
  105=3.5.7
 
Calculando nmeros primos: Atualmente, para obter 
nmeros primos costuma-se 
utilizar computadores, 
o que facilita a realizao 
de trabalhos com clculos 
e minimiza a possibilidade 
de erros. Em 28 de 
dezembro de 2005 foi 
obtido, com o auxlio do 
computador, em uma 
Universidade dos Estados 
Unidos, um nmero primo 
com mais de 9 milhes 
de algarismos. At ento, 
esse era o maior nmero 
primo obtido. Todavia, no 
h maior nmero primo, 
pois sempre  possvel 
obter outro ainda maior. 
<R->

Crivo de Eratstenes 

  Existe um dispositivo prtico que permite determinar se um nmero  
primo
ou no. Esse dispositivo, conhecido como 
Crivo de 
 Eratstenes, foi 
desenvolvido
h cerca de 2300 anos pelo matemtico grego Eratstenes. 
  Veja a seguir como o professor de Raul fez para obter os nmeros 
primos
de 1 a 70 utilizando esse dispositivo. 

 _`[{o professor diz_`]
  "Escrevemos a sequncia dos nmeros naturais de 1 a 70 e riscamos o 1, 
pois ele no  primo. Em seguida, circulamos o nmero 2 e riscamos os 
seus mltiplos, pois eles no so primos."

<R+>
O nmero 2  o 
nico nmero 
primo par. 
<R->
 
<100>
 _`[{o professor diz_`]
  "Circulamos o nmero 3 e riscamos os seus mltiplos, pois eles no so 
primos. Continuamos esse processo para os nmeros que no foram riscados at 
que no haja mais nmeros a serem riscados ou circulados. Os nmeros 
circulados so os
nmeros primos da sequncia de 1 a 70." 

Decomposio de nmeros em 
  fatores primos
 
  Vimos que todo nmero composto pode ser escrito como o produto de 
nmeros
primos. 
  Veja a seguir trs maneiras de decompor o nmero 24 em um produto de 
fatores primos. 
<R+>
  24=2.12=2.2.2.3=23.3
  24=4.6=2.2.2.3=23.3
  24=8.3=2.2.2.3=23.3 
<R->
  Note que nas trs decomposies o produto de fatores primos  o mesmo. 
  Dessa forma, 2.2.2.3 ou 23.3  a decomposio em fatores 
primos do
nmero 24. 

 _`[{o menino diz_`]
  "A decomposio de 
um nmero composto, 
diferente de zero, 
em fatores primos  
nica, diferenciando-se 
apenas pela ordem dos 
fatores." 

  Utilizando uma regra prtica, podemos decompor o nmero 24 da seguinte 
maneira. 

<R+>
Inicialmente, dividimos 24 por um 
de seus divisores primos. Em geral, 
comeamos pelo menor divisor, 
nesse caso, o nmero 2. 

 24 l 2
 12 l

 242=12

 O quociente da diviso  colocado 
abaixo do 24.

Em seguida, dividimos o quociente 
obtido por um de seus divisores 
<p>
  primos e repetimos esse processo 
at obtermos o quociente 1. 

<F->
 24 l 2
 12 l 2
  6 l 2
  3 l 3
  1 l
<F+>

122=6
 62=3
 33=1
<R->

  Dessa forma, o nmero 24 pode ser escrito como o produto de seus 
fatores primos: 
 24=2.2.2.3 ou 24=23.3

<101> 
<R+>
Clculo do mmc pela decomposio 
  em fatores primos
<R->
 
  Utilizando a regra prtica da decomposio em fatores primos, podemos 
obter o mmc de dois ou mais nmeros. 
  Vamos calcular, por exemplo, o mmc dos nmeros 126 e 105. Para isso, 
realizamos a decomposio desses nmeros em fatores primos. 

<F->
126 l 2
 63 l 3
 21 l 3
  7 l 7
  1 l
<F+>

126=2.32.7

<F->
105 l 3
 35 l 5
  7 l 7
  1 l 
<F+>

105=3.5.7

  O mmc  dado pelo produto de todos os fatores primos de 126 e 105, 
considerando
cada um elevado ao maior expoente. Assim: 
<F->
mmc(126, 105)=2.32.5.
  .7=630 
<F+>
<p>
  Tambm podemos calcular o mmc de 126 e 105 decompondo esses nmeros 
simultaneamente. 
  
<F->
126, 105 l 2  divide s o 126
 63, 105 l 3  divide ambos n.os
 21, 35  l 3  divide s o 21
  7, 35  l 5  divide s o 35
  7, 7   l 7  divide ambos n.os
  1, 1   l  
<F+>
 
 _`[{a menina diz_`]
  "Podemos notar 
que em algumas 
passagens, o fator 
divide somente um 
dos nmeros." 

  O mmc  dado pelo produto dos fatores primos encontrados. Assim: 
<F->
mmc(126, 105)=2.3.3.5.
  .7=2.32.5.7=630 
<F+>
<p>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.

<R+>
28. Utilizando o 
Crivo de 
  Eratstenes, determine 
os nmeros primos compreendidos entre 
1 e 150. 
 29. Qual nmero pode ser escrito como o produto 
de quatro nmeros primos diferentes 
compreendidos entre 1 e 10? 

30. Determine todos os divisores de 130. 
 a) Classifique os divisores de 130 em nmeros 
primos ou nmeros compostos. 
 b) Qual o maior divisor primo de 130? E 
o menor? 
 c) Qual o maior divisor composto de 130? 
<p>
31. Utilizando a regra prtica, decomponha 
os nmeros a seguir em fatores primos. 
 a) 65 
 b) 74 
 c) 78 

32. A soma das idades de Pedro e Ana  igual 
a 40 anos. Sabendo que Pedro  mais 
velho e as idades deles so dadas por 
nmeros primos, determine suas possveis 
idades. 

33. Escreva o nmero representado pelas decomposies 
a seguir. 
 a) 23.3 
 b) 22.33 
 c) 32.5 
 d) 22.53.7 

34. Copie os itens a seguir, substituindo cada '''
pelo nmero adequado. 
 a) 100=22.5''' 
 b) 324=22'''4 
<p>
 c) 720=2'''32.5 
 d) 1.575=32.5'''7 
<R->

<102> 
<R+>
35. Associe cada frase ao nmero adequado. 
Para isso escreva a letra e o smbolo romano 
correspondentes. 
 a) Nmero que pode ser decomposto em 
dois fatores primos consecutivos. 
 b) Nmero que pode ser decomposto em 
trs fatores primos iguais. 
 c) Nmero que pode ser decomposto em 
trs fatores primos entre 1 e 15. 
 d) Nmero que pode ser decomposto em 
dois fatores primos iguais. 

Dizemos que dois ou mais nmeros primos 
so consecutivos quando eles vm um 
imediatamente aps outro na sequncia dos 
nmeros primos. 

 I) 125 
 II) 121 
 III) 143 
 IV) 110 

36. Utilizando a decomposio simultnea em 
fatores primos, calcule. 
 a) mmc(15, 25) 
 b) mmc(16, 26) 
 c) mmc(18, 21) 
 d) mmc(42, 56) 
 e) mmc(48, 60) 
 f) mmc(54, 90) 

37. Dois nibus partem do mesmo terminal 
rodovirio. Um deles leva 32 minutos para 
fazer sua rota e voltar ao terminal e o 
outro, 40 minutos. Sabendo que esses 
nibus saram juntos do terminal s 6 horas, 
a que horas eles estaro juntos novamente 
nesse terminal? 
 
Lembre-se de que 1 h corresponde a 60 min.
<p>
38. Determine o mnimo mltiplo comum dos 
nmeros primos: 
 a) 2 e 7 
 b) 2 e 11 
 c) 3 e 5 
 d) 3 e 13 
 e) 5 e 7 
 f) 5 e 11 
 O que voc pde notar nos resultados obtidos? 

39. Calcule: 
 a) mmc(6, 12) 
 b) mmc(8, 24) 
 c) mmc(11, 55) 
 d) mmc(25, 75) 
 e) mmc(9, 27, 81) 
 f) mmc(14, 28, 56) 
 O que voc pde notar nos resultados 
obtidos? 

40. Uma metalrgica deve produzir uma barra 
de ferro que possa ser dividida em pedaos 
iguais de 3 m, 6 m ou 7 m de comprimento, 
sem que haja sobras. 
<p>
 Qual deve ser o menor comprimento de 
cada uma dessas barras de ferro? 
 41. O nmero de figurinhas 
que Douglas tem em 
sua coleo pode ser 
dividido igualmente e 
sem sobras entre 8, 9 
ou 12 pessoas. 
 Sabendo que Douglas 
tem menos de 100 
figurinhas, quantas 
figurinhas ele possui? 
 42. Em uma fbrica, a mquina A  revisada 
a cada 6 dias e a B, a cada 8 dias. Sabendo 
que essas duas mquinas foram 
revisadas no dia 20 de setembro, em que 
dia de outubro essas mquinas sero novamente 
revisadas juntas? 

Para resolver essa atividade, verifique 
quantos dias tem o ms de setembro. 

 43. Certo painel luminoso possui lmpadas 
brancas, azuis, verdes e amarelas, que 
formam a bandeira do Brasil. As lmpadas 
brancas piscam a cada 4 segundos, 
as azuis, a cada 14 segundos, as verdes, 
a cada 9 segundos e as amarelas, a cada 
10 segundos. 
 Em certo instante, todas as lmpadas piscaram 
juntas. A cada quantos minutos 
todas as lmpadas piscaro juntas formando 
a bandeira do Brasil?
 
Lembre-se de que 1 min corresponde a 60 s. 
<R->

<103> 
<R+>
Clculo do mdc pela decomposio 
  em fatores primos 
<R->

  Veja como podemos encontrar o mdc dos nmeros 630 e 294 utilizando a 
decomposio em fatores primos. 
<p>
  Inicialmente, decompomos cada um dos nmeros. 

<F->
630 l 2
315 l 3
105 l 3
 35 l 5
  7 l 7
  1 l

2.32.5.7

294 l 2
147 l 3
 49 l 7
  7 l 7
  1 l

2.3.72
<F+>

  O mdc de 630 e 294  o produto dos fatores primos comuns de menor 
expoente. Assim, mdc(630, 294)=2.3.7=42. 
<p>
  Outra maneira de obter o mdc dos nmeros 630 e 294  decompor esses 
nmeros simultaneamente. 

<F->
630, 294 l 2  divide ambos n.os
315, 147 l 3  divide ambos n.os
105, 49  l 3  divide s o 105
 35, 49  l 5  divide s o 35
  7, 49  l 7  divide ambos n.os
  1, 7   l 7  divide s o 7
  1, 1   l
<F+>

  Nesse caso, o mdc  o produto dos fatores primos que divide ambos os 
nmeros. Assim, mdc(630, 294)=2.3.7=42. 
 
<R+>
Quando o mdc de dois ou mais nmeros naturais  igual a 1, dizemos 
que esses
nmeros so primos entre si. 
 Veja, por exemplo, os divisores dos nmeros 20 e 63. 
 Divisores de 20: *1*, 2, 4, 5, 10 e 20 
 Divisores de 63: *1*, 3, 7, 9, 21 e 63
<p>
 Note que o nico divisor comum desses nmeros  o 1, ou seja, mdc(20, 63)=1.
 Dessa forma, dizemos que os nmeros 20 e 63 so primos entre si. 

Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.

44. Calcule pela decomposio em fatores 
primos: 
 a) mdc(18, 34) 
 b) mdc(20, 45) 
 c) mdc(48, 76) 
 d) mdc(64, 98, 120) 
<p>
45. Calcule o mdc dos nmeros: 
 a) 7 e 14 
 b) 8 e 32 
 c) 10 e 50 
 Junte-se a um colega e conversem sobre 
o que vocs notaram com relao aos 
resultados obtidos. 

Em cada item, o maior nmero  mltiplo do menor. 

46. Em uma escola havia duas turmas de 
6 ano, a turma A com 28 alunos e a B 
com 36. Para a realizao de uma gincana, 
cada turma foi dividida em grupos 
com o mesmo nmero de alunos, de forma 
que em cada grupo tivesse o maior 
nmero possvel de alunos. 
 a) Quantos alunos compem cada grupo? 
 b) Quantos grupos foram formados na 
turma A? E na turma B? 

<104>
<p>
47. Desafio 
 Para o aniversrio de seu filho, 
Odete comprou 159 
balas de coco e 265 balas 
de chocolate, que sero 
colocadas em saquinhos 
com os dois tipos de bala. Ela pretende 
distribuir igualmente as balas de coco 
nos saquinhos, de maneira que cada 
um deles fique com a maior quantidade 
possvel de balas. E da mesma forma, distribuir 
as balas de chocolate. 
 a) Quantos saquinhos de balas sero 
formados? 
 b) Qual o maior nmero de balas de coco 
que Odete deve colocar em cada 
saquinho? E o de balas de chocolate? 

48. Uma revista realizou uma 
promoo, na qual, em 
cada edio, eram vendidas 
junto com a revista 
peas para montar 
as miniaturas de um carro 
e de um avio. A miniatura do carro era 
composta de 28 peas e a do avio, de 
35 peas. Todas as edies deveriam 
conter o mesmo nmero de peas da miniatura 
do carro e o mesmo nmero de 
peas da miniatura do avio e, alm disso, 
deveria ser realizado o maior nmero 
de edies possvel. 
 a) Quantas edies, no mnimo, uma pessoa 
deve comprar para obter todas 
as peas necessrias para montar as 
miniaturas? 
 b) Quantas peas de cada miniatura tem 
em cada edio da revista? 

49. Verifique em qual das fichas so apresentados 
nmeros primos entre si. 

_`[{fichas adaptadas_`]
 a) 42 e 68 
 b) 44 e 72 
 c) 51 e 64 
 d) 48 e 75 
<p>
50. O quadro a seguir apresenta o nmero de 
livros de uma biblioteca separados conforme 
uma classificao. 

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::
l     Nmero de livros          _
l       da biblioteca            _  
r:::::::::::::::::::::::::::::::w
l Classificao _ Quantidade   _
l                _   de livros   _ 
r::::::::::::::::w:::::::::::::::w
l Cientficos   _ 1.184        _
r::::::::::::::::w:::::::::::::::w
l Didticos     _ 1.332        _
r::::::::::::::::w:::::::::::::::w
l Outros        _ 925          _
h::::::::::::::::j:::::::::::::::j
<F+>

Para melhor organizao, esses livros sero 
colocados em prateleiras, de maneira 
que em cada uma haja apenas livros 
da mesma classificao, com o mesmo 
nmero de livros e o maior nmero possvel 
em cada prateleira. 
<p>
 a) Quantos livros deve haver em cada 
prateleira? 
 b) Quantas prateleiras sero ocupadas 
com livros: cientficos, didticos e outros? 

51. Com o objetivo de enfeitar a escola para 
uma festa, sero pendurados no ptio fitas 
coloridas. Observe o dilogo entre as 
organizadoras. 

 _`[{uma organizadora diz_`]
<R->
  "Temos 18 m de fita azul, 
48 m de amarela, 12 m de 
verde e 60 m de vermelha. 
De que tamanho devo 
cortar essas fitas?"

 _`[{outra organizadora diz_`]
  "Corte todas 
as fitas com o 
mesmo tamanho, 
sendo esse o 
maior possvel."

<R+>
De acordo com o dilogo, resolva os 
itens. 
 a) Qual deve ser o comprimento de cada 
pedao de fita? 
<p>
 b) Quantos pedaos de fita sero obtidos 
ao todo? 
 c)  possvel dividir todas as fitas em pedaos 
de 4 m sem que haja sobra? 
Justifique. 
<R->

<105>
Refletindo sobre o captulo 

Anote as respostas 
no caderno. 

<R+>
1. Quais foram os contedos abordados neste captulo? 
 2. Com poucas palavras, escreva o que so mltiplos e divisores. 
 3. Como so chamados os nmeros que so divisveis apenas por 1 e por 
ele mesmo?
 E os que so divisveis por mais de dois nmeros? 
 4. Como  possvel verificar se um nmero  primo? 
 5. O que so nmeros primos entre si? Cite alguns exemplos. 
<p>
 6. Em sua opinio, qual  a importncia do conhecimento dos critrios 
de divisibilidade
ao realizar clculos mentais envolvendo divises? 
 7. D um exemplo de uma situao envolvendo mmc e de outra envolvendo 
mdc.
 8. Vimos neste captulo que todo nmero composto e diferente de zero 
pode ser
decomposto em fatores primos. Desconsiderando a ordem dos fatores, de 
quantas
maneiras essa decomposio pode ser feita? 

9. Observe as imagens e, a partir dos contedos estudados neste 
captulo, elabore e
escreva algumas questes relacionadas a elas. Junte-se a um colega, 
troquem as
questes que vocs elaboraram e discutam as resolues.

_`[{cinco imagens adaptadas_`]
 1) Os nmeros 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..., ..., ...
 2) Duas caixas de vitaminas: na primeira est escrito: "Vita -- vitaminas A, B e C -- tomar um comprimido de 6 em 6 horas"; na segunda est escrito: "Forte -- vitaminas D, E e B12 -- tomar um comprimido de 4 em 4 horas".

 3)  -- representa uma garrafa.

              
              

 4) Quatro caixas.
 a)
 yyy
 yyy

b)
 yyyy
 yyyy
 yyyy
 yyyy
<p>
c)
 yyy
 yyy
 yyy
 yyy

d)
 yyyy
 yyyy

5) Trs pedaos de madeira.

<F->
r::::::::::::w
    168 cm
r:::::::::::::::w
    196 cm
r:::::::::::::::::::w
    308 cm
<F+>
<R->

<106>
Reviso 

Anote as respostas no caderno.

<R+>
52. Observe os nmeros nas fichas. 
 14 -- 12 -- 15 -- 21 -- 42 --
32 -- 70 -- 76 -- 85 
<p>
 Em relao aos nmeros apresentados 
acima, quais: 
 a) so mltiplos de 4? 
 b) no so mltiplos de 3? 
 c) so mltiplos de 2 e de 3 simultaneamente? 

53. Um *apicultor* possui em estoque 
252 potes de mel como 
o apresentado _`[{pote de 500 g_`]
e deseja armazen-los em 
caixas, todas do mesmo 
modelo. Quais das caixas 
a seguir podem ser utilizadas pelo apicultor 
de maneira que no fiquem potes de 
mel sem serem armazenados e no sobrem 
lugares vazios nas caixas? 

_`[{caixas adaptadas_`]
 a)
 yyy
 yyy

b)
 yyyy
 yyyy

c)
 yyy
 yyy
 yyy
 yyy

d)
 yyyyy
 yyyyy
<R->

  Apicultor: criador de 
abelhas com finalidade de 
extrair mel, prpolis etc.

<R+>
54. Em um campeonato estudantil de basquete, 
cada equipe deveria inscrever 12 atletas. 
Sabendo que foram inscritos de 250 
a 260 atletas nesse campeonato, determine 
o nmero: 
 a) exato de atletas inscritos 
 b) de equipes participantes 

55. Responda s questes. 
 a) Qual  o maior nmero primo menor 
que 200? 
 b) Qual  o maior divisor primo de 182? 
<p>
56. Classifique os nmeros apresentados 
a seguir em primos ou compostos. 
 97 -- 111 -- 143 -- 151 -- 167 -- 
157 -- 161 -- 163 -- 165

57. Determine. 
 a) mmc(7, 13) 
 b) mmc(26, 52) 
 c) mmc(24, 60, 96) 
 d) mmc(45, 75, 125) 

58. Uma papelaria vende caneta, lpis e borracha 
em embalagens conforme as imagens. 

_`[{imagens adaptadas_`]
 a) estojo com seis canetas
 b) estojo com oito lpis
 c) estojo com dez borrachas

Carla pretende formar *kits* contendo uma 
caneta, um lpis e uma borracha que sero 
utilizados como premiao em uma 
gincana. Quantas embalagens de cada 
material, no mnimo, Carla deve comprar 
nessa papelaria para formar os kits de maneira 
que no sobre nenhum material? 

59. Em certo trecho de uma rodovia, uma concessionria 
de pedgio instalou placas 
educativas a cada 12 km e telefones a 
cada 16 km. Logo no incio desse trecho 
da rodovia h uma dessas placas e um 
telefone juntos. A cada quantos quilmetros, 
a partir desse ponto, estaro instalados 
uma placa educativa e um telefone 
juntos?
 
_`[{placa_`]
 "Se voc tem pressa de viver, dirija com calma."
<R->

<107> 
<p>
<R+>
60. Desafio 
 Em um armazm, um funcionrio verificou 
que poderia organizar as caixas que havia 
em estoque utilizando somente pilhas 
com a mesma quantidade de caixas, podendo 
conter cada pilha 9, 10 ou 14 caixas. 
Quantas caixas havia em estoque, 
sabendo que elas eram menos de 1.000? 

61. Calcule. 
 a) mdc(84, 126) 
 b) mdc(132, 210) 
 c) mdc(78, 130, 156) 
 d) mdc(36, 42, 55) 

62. Regina possui 3 pedaos de fita, como os 
apresentados a seguir, que sero utilizados 
na confeco de alguns enfeites. Ela 
pretende cort-los em pedaos do maior 
tamanho possvel, de forma que no haja 
sobras e que todos os pedaos tenham 
o mesmo tamanho. 

_`[{trs pedaos de fitas adaptados_`]
<F->
r:::::::::::::::w
    630 cm 
r::::::::::::::::::w
    810 cm 
r:::::::::::::w
    540 cm
<F+>

 a) Qual ser o tamanho de cada pedao 
de fita aps o corte? 
 b) Quantos pedaos de fita sero obtidos 
ao todo? 
 
Testes 

Anote as respostas 
no caderno. 

63. (SARESP - SP) Indique, dentre as opes 
a seguir, aquela que apresenta todas as 
afirmaes corretas: 
 a) 12  mltiplo de 2, de 3 e de 9 
<p>
 b) 2, 3 e 7 so divisores de 7 
 c) 2, 3 e 6 so divisores de 12 
 d) 12  mltiplo de 24 e de 39 

64. (OBMEP) O professor 
  Samuel preencheu 
uma tabela com 507 linhas e 1.007 colunas 
de acordo com o padro indicado 
  _`[no adaptado_`]: 
 Como ele preencheu a casa com o X? 
 a) com o nmero 2 
 b) com a letra B 
 c) com a letra M 
 d) com o nmero 7 
 e) com o smbolo da OBMEP

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  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
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<p>
65. O produto entre o nico nmero primo par 
e o maior nmero primo de dois algarismos 
: 
 a) 201 
 b) 199 
 c) 194 
 d) 190 
 e) 181 

66. Sabendo que A e B correspondem a nmeros 
naturais e que mmc`(A, B, 14`)=84, os 
possveis valores de A e B so: 
 a) A=16 e B=20 
 b) A=12 e B=21 
 c) A=6 e B=21 
 d) A=12 e B=5 
 e) A=21 e B=10 

67. O maior nmero que divide os nmeros 72 
e 126 ao mesmo tempo  um nmero: 
 a) mltiplo de 36 
 b) compreendido entre 20 e 25 
 c) mltiplo de 2 e 3 ao mesmo tempo 
 d) primo 
 e) mpar 
<p>
68. (OBMEP) Desafio 
 Uma turma tem 36 alunos e cada um deles 
tem um nmero de 1 a 36 na lista de 
chamada. Ontem, a professora chamou 
Lia ao quadro-negro e mais os outros 
seis alunos cujos nmeros eram mltiplos 
do nmero de Lia. Qual foi o maior 
nmero chamado? 
 a) 14 
 b) 20 
 c) 25 
 d) 32 
 e) 35 
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               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte